Question

设函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），给出三个论断：
①它的图象关于x=

π

8

对称；
②它的最小正周期为π；
③它在区间[

π

4

，

3π

8

]上的最大值为

2

．
以其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，试写出你认为正确的一个命题并给予证明．

Answer 1

考点：正弦函数的对称性,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：由①②可以推出③，证明：由②求得ω=2；再由①求得φ=

π

4

，函数f（x）=2sin（2x+

π

4

），区间[

π

4

，

3π

8

]上，根据2x+

π

4

∈[

3π

4

，π]，可得当2x+

π

4

=

3π

4

时，函数f（x）取得最大值为

2

，从而得到③成立．

解答： 解：由①②可以推出③．
证明：对于函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），由②它的最小正周期为π，可得

2π

ω

=π，∴ω=2．
再由①它的图象关于x=

π

8

对称，可得2×

π

8

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，求得φ=kπ+

π

4

．
再结合-

π

2

＜φ＜

π

2

，可得φ=

π

4

，∴函数f（x）=2sin（2x+

π

4

），
区间[

π

4

，

3π

8

]上，根据2x+

π

4

∈[

3π

4

，π]，可得当2x+

π

4

=

3π

4

时，函数f（x）取得最大值为

2

，
故③正确．

点评：本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于基础题．