Question

已知动圆P与圆F₁：x²+（y+2）²=

121

4

内切，与圆F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，记动圆圆心点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）若直线l过点F₂且与轨迹E相交于P、Q两点．
（i）设点M（0，m），问：是否存在实数m，使得直线l绕点F₂无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由；
（ii）设△F₁PQ的内切圆半径为r，求r的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由动圆P与圆F₁：x²+（y+2）²=

121

4

内切，与圆F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，动圆圆心点P的轨迹为E满足：

11

2

-|PF₁|=|PF2|-

1

2

，可得|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4．可得动圆圆心点P的轨迹为：以点F₁，F₂为焦点，6为长轴长的椭圆．即可得出．
（II）（i）不存在实数m，使得直线l绕点F₂无论怎样转动，都有能

MP

•

MQ

=0成立．因为取直线l为y轴时，MP与MQ共线，不可能

MP

•

MQ

=0成立．
（ii）当PQ⊥y轴时，△F₁PQ的内切圆半径r取得最大值．利用三角形的面积的计算公式即可得出（I）由动圆P与圆F₁：x²+（y+2）²=

121

4

内切，与圆F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，动圆圆心点P的轨迹为E满足：

11

2

-|PF₁|=|PF2|-

1

2

，可得|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4．可得动圆圆心点P的轨迹为：以点F₁，F₂为焦点，6为长轴长的椭圆．即可得出．

解答： 解：（I）∵动圆P与圆F₁：x²+（y+2）²=

121

4

内切，与圆F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，动圆圆心点P的轨迹为E满足：

11

2

-|PF₁|=|PF2|-

1

2

，化为|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4．
∴动圆圆心点P的轨迹为：以点F₁，F₂为焦点，6为长轴长的椭圆．
b²=3²-2²=5．
∴椭圆的方程为：

y2

9

+

x2

5

=1．
（II）（i）不存在实数m，使得直线l绕点F₂无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立．因为取直线l为y轴时，MP与MQ共线，不可能

MP

•

MQ

=0成立．
（ii）当PQ⊥y轴时，△F₁PQ的内切圆半径r取得最大值．
此时P(-

5

3

，2)，Q(

5

3

，2)．
S△F1PQ=

1

2

|F1F2|×|PQ|=

1

2

r（|PQ|+2|F₁P|），
∴4×

10

3

=r×(

10

3

+2

42+( 5 3 )2

)，
解得r=

10

9

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、三角形的内切圆的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．