Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

．
（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，根据f′（x）＞0，可得f（x）在定义域上的单调性；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数f（x）在[1，e]上的单调性，利用f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，即可求a的值．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）=

x+a

x2

∵a＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在定义域上单调递增；
（2）由（1）知，f′（x）=

x+a

x2

①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数
∵f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，
∴f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

（舍去）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，∴a=-

e

2

（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a．
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，∴a=-

e

．
综上可知：a=-

e

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．