Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，直线：与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题意结合椭圆的离心率求解a,b,c的值，然后确定椭圆方程即可；

（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合两点之间距离公式求得面积函数，利用二次函数的性质即可求得四边形面积的取值范围.

（1）由椭圆焦距为，设，，连结，设，

则，又，得，

，

解得，，所以椭圆方程为；

（2）设直线方程：，、，

由，得，所以，

由（1）知直线：，代入椭圆得，得，

由直线与线段相交于点，得 ，

，

而与，知， ，

由，得，所以，

四边形面积的取值范围．