【题目】已知圆O:,直线l:
.
若直线l与圆O交于不同的两点A、B,当
为锐角时,求k的取值范围;
若
,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D,则直线CD是否过定点?若是,求出定点,并说明理由.
若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦,垂足为
,求四边形EGFH的面积的最大值.
【答案】(1)或
;(2)直线CD恒过定点
.详见解析(3)
【解析】
(1)首先可以设出两点坐标,然后联立圆与直线方程并得出
的值,最后根据
以及
即可得出结果;
(2)首先将带入直线方程得出直线的解析式,然后设出
点坐标并写出以
为直径的圆的方程,最后将其与圆
方程联立即可得出直线
的方程并根据直线
的方程得出定点坐标;
(3)首先可以设圆心到直线
的距离分别为
、
,然后通过勾股定理即可得出
的值,再然后写出
与
,通过
即可求出四边形
的面积的最大值。
(1)根据题意,设,
,
将代入
,整理得到:
,
则有,解可得:
,
而,
为锐角
,
又由,
解可得:,
又由,则
,
解可得:或
;
(2)时,直线l的方程为:
,
设,则以
为直径的圆的方程为
,
即,将其和圆O:
联立,消去平方项得:
,即为直线
的方程,
将其化为知该直线恒过定点
,
故直线CD恒过定点;
(3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为、
,
则,
所以,
,
所以,
当且仅当即
时,取“
”,
所以四边形EGFH的面积的最大值为。
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【题目】如图,摄影爱好者在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为,已知摄影爱好者的身高约为
米(将眼睛S距地面的距离SA按
米处理).
(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB;
(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观察彩杆MN的视角(设为
)是否存在最大值?若存在,请求出
取最大值时
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是
,接下来的两项是
,
,再接下来的三项是
,
,
,依此类推那么该数列的前50项和为
A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025
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【题目】某校为了解毕业班学业水平考试学生的数学考试情况,抽取了该校100名学生的数学成绩,将所有数据整理后,画出了样频率分布直方图(所图所示),若第1组第9组的频率各为x.
(1)求x的值,并估计这次学业水平考试数学成绩的众数;
(2)若全校有1500名学生参加了此次考试,估计成绩在[80,100)分内的人数.
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【题目】若对任意的正整数,总存在正整数
,使得数列
的前
项和
,则称
是“回归数列”.
()①前
项和为
的数列
是否是“回归数列”?并请说明理由.②通项公式为
的数列
是否是“回归数列”?并请说明理由;
()设
是等差数列,首项
,公差
,若
是“回归数列”,求
的值.
()是否对任意的等差数列
,总存在两个“回归数列”
和
,使得
成立,请给出你的结论,并说明理由.
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【题目】一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球.
(1)从盒中任取两球,求取出的球的编号之和大于5的概率.
(2)从盒中任取一球,记下该球的编号,将球放回,再从盒中任取一球,记下该球的编号
,求
的概率.
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【题目】已知A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角,向量=(sin A,sin B),
=(cos B,cos A),且
=sin 2C.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且,求边c的长.
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