Question

【题目】已知圆的半径为2，为平面上一点，，是圆上动点，线段的垂直平分线和直线相交于点．

（1）以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求点的轨迹方程；

（2）设（1）中点轨迹与直线相交于两点，求三角形的面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意建立直角坐标系，由线段垂直平分线的性质即可得出，进而得到．由椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，求出方程即可；

（2）联立直线与椭圆的方程消去可得出关于的一元二次方程，结合韦达定理求出，，进而求出弦长公式的代数式，然后利用三角形面积公式得到关于三角形面积的关于的代数式，利用整体思想再结合基本不等式求出最值即可．

解：（1）以所在直线为轴，中点为原点，建立平面直角坐标系，如图

因为，连，由已知，得，所以．

由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为．

（2）由（1）知，点轨迹是椭圆，

与交于，，

由

消去得．

，．

故

令，，

．