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【题目】已知函数

(1)若函数有两个零点,证明:

(2)设函数的两个零点为.证明:

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析

【解析】

(1)参变分离可得,构造函数,判断的单调性及图象特征,使与直线有两个交点,即满足题意,从而可证明结论;

2)易知,两式相减得,要证,即证,进而可将问题转化为证明,令,则,即证,进而构造函数,只需证明即可.

(1)证明:由,可得

,则

时,单调递增;

时,单调递减;

所以

又因为当时,

时,,且当时,

所以有两个零点时,

2)由题意知,

两式相减得:

要证,即证

只需证

即证.

,则,即证

,则,令,则

所以上单调递增,,即

所以上单调递增,

所以,即

所以

成立.

练习册系列答案
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【题目】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图,90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是(

注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.

A.互联网行业从业人员中90后占一半以上

B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的

C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

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【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.

购买金额(元)

人数

10

15

20

15

20

10

1)根据以上数据完成列联表,并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

不少于60

少于60

合计

40

18

合计

2)为吸引游客,该超市推出一种优惠方案,购买金额不少于60元可抽奖3次,每次中奖概率为(每次抽奖互不影响,且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),中奖1次减5元,中奖2次减10元,中奖3次减15.若游客甲计划购买80元的土特产,请列出实际付款数(元)的分布列并求其数学期望.

附:参考公式和数据:.

附表:

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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【题目】如图,已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线交抛物线于两点,点在准线上的投影为,若是抛物线上一点,且.

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【题目】已知圆的半径为2为平面上一点,是圆上动点,线段的垂直平分线和直线相交于点

1)以中点为原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,求点的轨迹方程;

2)设(1)中点轨迹与直线相交于两点,求三角形的面积的取值范围.

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【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:

交强险浮动因素和费率浮动比率表

浮动因素

浮动比率

上一个年度未发生有责任道路交通事故

下浮

上两个年度未发生有责任道路交通事故

下浮

上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故

下浮

上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故

上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故

上浮

上一个年度发生有责任道路交通死亡事故

上浮

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:

类型

数量

10

5

5

20

15

5

1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率;

2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列问题:

①若该销售商店内有6辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选2辆车,求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率;

②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值.

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【题目】凤梨穗龙眼原产厦门,是厦门市的名果,栽培历史已有100多年.龙眼干的级别按直径的大小分为四个等级(如下表).

级别

三级品

二级品

一级品

特级品

某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况,随机抽取了100个龙眼干作为样本(直径分布在区间),统计得到这些龙眼干的直径的频数分布表如下:

频数

1

29

7

用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个,其中一级品有2.

1)求的值,并估计这批龙眼干中特级品的比例;

2)已知样本中的100个龙眼干约500克,该农场有500千克龙眼干待出售,商家提出两种收购方案:

方案:以60/千克收购;

方案:以级别分装收购,每袋100个,特级品40/袋、一级品30/袋、二级品20/袋、三级品10/.

用样本的频率分布估计总体分布,哪个方案农场的收益更高?并说明理由.

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