Question

7．研究函数f（x）=x-$\frac{{a}^{2}}{x}$，（x≠0常数a≠0）的定义域、奇偶性、单调性、最值、值域、零点，并任选一个你所写出的单调区间进行证明．

Answer 1

分析 由分式分母不为0，可得定义域，由奇偶性的定义，可得奇函数；再由导数大于0，可得单调区间和值域；由f（x）=0，可得零点；再由单调性的定义即可得证．

解答 解：函数f（x）=x-$\frac{{a}^{2}}{x}$的定义域为{x|x≠0，x∈R}，
由f（-x）=-x+$\frac{{a}^{2}}{x}$=-（x-$\frac{{a}^{2}}{x}$）=-f（x），
可得f（x）为奇函数；
由f′（x）=1+$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$＞0，可得f（x）的增区间为（-∞，0），（0，+∞）；
函数f（x）在定义域内无最值；函数的值域为R；
由f（x）=0，可得x=±a，
即有函数的零点为±a．
证明：设0＜m＜n，f（m）-f（n）=（m-$\frac{{a}^{2}}{m}$）-（n-$\frac{{a}^{2}}{n}$）
=（m-n）（1+$\frac{{a}^{2}}{mn}$），
由0＜m＜n，可得m-n＜0，mn＞0，1+$\frac{{a}^{2}}{mn}$＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，
则f（x）在（0，+∞）递增．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数的单调性的证明，考查推理能力，属于基础题．