Question

高一某班研究性小组成员为了测量永嘉中学旗杆高度收集了如下数据：（如图）在B点测得∠ABE=θ，前进30米至C点处，测得∠ACE=2θ，再继续前进10

3

米至点D处，测得∠ADE=4θ，则θ的大小为

π

12

，旗杆AE的高度为

15

米．

Answer 1

分析：由题意及仰角的定义，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系及三角形求解即可．

解答：解：由已知BC=30米，CD=10

3

米，∠ABE=θ，
∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，
在Rt△ABCE中，BE=AEcotθ，
在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，
∴BC=BE-CE=AE（cotθ-cot2θ）．
同理可得：CD=AE（cot2θ-cot4θ）．
∴

BC

DC

=

AE(cotθ-cot2θ)

AE(cot2θ-cot2θ)

，
即

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

30

10 3

=

3

，
而cotθ-cot2θ=

cotθ

sinθ

-

cos2θ

sin2θ

=

sin2θcosθ-cos2θsinθ

sinθsin2θ

=

1

sin2θ

．
同理可得cot2θ-cot4θ=

1

sin4θ

．

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

sin4θ

cos2θ

=2cos2θ=

3

，
∴cos2θ=

3

2

，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，
∴AE=

BC

cotθ-cot2θ

=BCsin2θ=15（米）．
故答案为：

π

12

；15．

点评：本题以实际问题为载体，考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，还考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式．