Question

如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=3BC=6，BF=CF=AE=DE=2，EF=4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM=2．
（Ⅰ）证明：AF∥面BDG；
（Ⅱ）证明：面BGM⊥面BFC；
（Ⅲ）求三棱锥F-BMC的体积V．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）首先，连接AC交BD于O点，得到OG为△AFC的中位线，从而得到OG∥AF，命题得证；
（Ⅱ）先连接FM，证明BG⊥CF，然后，证明△FCM为正三角形，从而得到CF⊥面BGM，从而命题得证；
（Ⅲ）转化成三棱锥F-BMG和三棱锥C-BMG的体积之和，它们的体积之和就是以FC为高，以BMG为底的三棱锥的体积，从而得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG
∵点G为CF中点，
∴OG为△AFC的中位线
∴OG∥AF，
∵AF?面BDG，OG?面BDG，
∴AF∥面BDG，
（Ⅱ）连接FM，
∵BF=CF=BC=2，G为CF的中点，
∴BG⊥CF∵CM=2，
∴DM=4∵EF∥AB，ABCD为矩形，
∴EF∥DM，
又∵EF=4，
∴EFMD为平行四边形
∴FM=ED=2，
∴△FCM为正三角形，
∴MG⊥CF，
∵MG∩BG=G，
∴CF⊥面BGM，
∵CF?面BFC，
∴面BGM⊥面BFC．
（Ⅲ）VF-BMC=VF-BMG+VC-BMG=

1

3

×SBMG×FC=

1

3

×SBMG×2
∵GM=BG=

3

，BM=2

2

∴SBMG=

1

2

×2

2

×1=

2

∴VF-BMC=

2

3

×SBMC=

2 2

3

，
∴三棱锥F-BMC的体积V=

2 2

3

．

点评：本题重点考查了面面垂直、线面平行、空间几何体的体积等知识，本题属于中档题．