Question

（2012•湖南）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x-

π

12

）-f（x+

π

12

）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（

5π

12

，0）和（0，1）代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；
（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间

解答：解：（I）由图象可知，周期T=2（

11π

12

-

5π

12

）=π，∴ω=

2π

π

=2
∵点（

5π

12

，0）在函数图象上，∴Asin（2×

5π

12

+φ）=0
∴sin（

5π

6

+φ）=0，∴

5π

6

+φ=π+2kπ，即φ=2kπ+

π

6

，k∈z
∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

6

∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin

π

6

=1，A=2
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（II）g（x）=2sin[2（x-

π

12

）+

π

6

]-2sin[2（x+

π

12

）+

π

6

]=2sin2x-2sin（2x+

π

3

）
=2sin2x-2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈z
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

∴函数g（x）=f（x-

π

12

）-f（x+

π

12

）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]k∈z

点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，根据图象求函数的解析式，利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法，属基础题