Question

在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的只有（　　）

• A、f（x）=

  1

  x

• B、f（x）=|x|
• C、f（x）=2
• D、f（x）=x²

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的概念及应用

分析：|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|可化成

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1，表示的是函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值，而四个选项中的函数都是（1，2）上可导的函数，因此即转化为它们的导数值的绝对值在（1，2）内是否恒小于1的问题，对四个选项中的函数分别求导，判断导函数的值域是否是（-1，1）或是（-1，1）的子集即可．

解答： 解：因为对于区间（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”
所以函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值小于1即可，又因为四个函数均是（1，2）上的可导函数，则在（1，2）内总能找到一条切线平行于任意两点连线，则问题即转化为
在（1，2）上四个函数的导数绝对值是否满足恒在（0，1）取值即可，
对于A：|f′（x）|=

1

x2

，当x∈（1，2）时，f′(x)∈(

1

4

，1)⊆（0，1），故A符合题意；
对于B：由题意f（x）=x，f′（x）=1，故B不满足题意；
对于C：函数f（x）=2x，所以f′（x）=2＞1，故C不满足题意；
对于D：f′（x）=2x，当x∈（1，2）时，f′（x）∈（2，4），故D不满足题意．
故选：A．

点评：本题考查了导数的几何意义，实际上是对于可导函数而言，割线在沿着某个方向平移的过程中极限位置是某点处的切线，从而将问题转化为导数的问题求解．