Question

已知正△AOB顶点O位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，已知△AOB周长12

3

，求抛物线方程．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知得A，B点关于x轴对称，推导出A（6p，2

3

p），B（6p，-2

3

p），再由△AOB周长12

3

，能求出抛物线方程．

解答： 解：∵抛物线y²=2px关于x轴对称，
∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，
另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，
∴A，B点关于x轴对称，
∴直线OA倾斜角为30°，斜率为

3

3

，
∴直线OA方程为y=

3

3

x
与抛物线方程联立，得

1

3

x2=2px，
∴x=0或x=6p
∴A（6p，2

3

p），B（6p，-2

3

p），
∴|AB|=|OA|=|OB|=4

3

p，
∵△AOB周长12

3

，
∴12

3

p=12

3

，解得p=1．
∴抛物线方程为y²=2x．

点评：本题考查抛物线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．