Question

11．已知函数$f（x）=\frac{x-1}{x}-lnx$
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值和最小值；
（3）求证：$ln\frac{e^2}{x}≤\frac{1+x}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；
（2）由（1）可得f（x）的最大值，再计算端点处的函数值，比较，可得最小值；
（3）运用分析法证明，要证$ln\frac{e^2}{x}≤\frac{1+x}{x}$，即为2-lnx≤1+$\frac{1}{x}$，即有1-lnx-$\frac{1}{x}$≤0．设g（x）=1-lnx-$\frac{1}{x}$，求出导数和单调区间，可得极值，也为最值，即可得证．

解答 解：（1）函数$f（x）=\frac{x-1}{x}-lnx$的导数为f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，x＞0，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
则f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）由（1）可得f（x）在x=1处取得极大值，且为最大值0，
又f（$\frac{1}{e}$）=1-e-ln$\frac{1}{e}$=2-e，f（e）=1-$\frac{1}{e}$-lne=-$\frac{1}{e}$，2-e＜-$\frac{1}{e}$，
可得f（x）的最小值为2-e；
（3）证明：要证$ln\frac{e^2}{x}≤\frac{1+x}{x}$，
即证lne²-lnx≤1+$\frac{1}{x}$，即为2-lnx≤1+$\frac{1}{x}$，
即有1-lnx-$\frac{1}{x}$≤0．
设g（x）=1-lnx-$\frac{1}{x}$，
g′（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
可得g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值0．
可得g（x）≤0，即有1-lnx-$\frac{1}{x}$≤0．
故原不等式$ln\frac{e^2}{x}≤\frac{1+x}{x}$成立．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用分析法，构造函数法，求得最值，考查化简整理运算能力，属于中档题．