Question

6．若点P（x₀，y₀）是曲线y=xe^x上任意一点，则|x₀-y₀-4|的最小值为（　　）

• A． 4
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题可得所求最小值为曲线上P到直线x-y-4=0的距离的$\sqrt{2}$倍．求出函数的导数，由切线斜率为1，构造函数f（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，求出导数，判断单调性，解方程可得切点，进而运用两平行直线的距离公式可得最小值．

解答 解：|x₀-y₀-4|=$\frac{|{x}_{0}-{y}_{0}-4|}{\sqrt{2}}$•$\sqrt{2}$，
表示曲线上P到直线x-y-4=0的距离的$\sqrt{2}$倍．
设与直线x-y-4=0平行的直线x-y-t=0，与曲线相切，
由y=xe^x的导数为y′=（x+1）e^x，
由切线的斜率为1，可得（x+1）e^x=1，
可令f（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，其导数为f′（x）=e^x+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，
可得f（x）在（-1，+∞）递增，
由f（0）=e⁰-1=0，
可得（x+1）e^x=1的根为x=0，
即有切点为（0，0），
可得t=0，
由平行直线的距离公式可得两平行线的距离为$\frac{4}{\sqrt{2}}$，
则则|x₀-y₀-4|的最小值为4．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，注意运用构造法，以及转化思想，考查两平行直线的距离公式，同时注意运用单调性解方程，考查运算能力，属于中档题．