Question

15．过双曲线的一个焦点F₂作垂直干实轴的弦PQ，F₁是另一焦点，若∠PF₁Q=$\frac{π}{2}$，则双曲线的离心率e等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$+2
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 根据题设条件求出PQ，通过∠PF₂Q=90°，列出方程，推导出双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知通径|PQ|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，|F₁F₂|=2c，|QF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵∠PF₂Q=90°，∴b⁴=4a²c²，
∵c²=a²+b²，∴c⁴-6a²c²+a4=0，∴e⁴-6e²+1=0，
∴e²=3+2$\sqrt{2}$或e²=3-2$\sqrt{2}$（舍去），
∵e＞1，∴e=1+$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 这道题数量间的关系比较繁琐，推导过程中要多一点耐心．