Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2ⁿ⁺¹-n-2（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=$\frac{n}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）S_n=2ⁿ⁺¹-n-2（n∈N*），可得n=1时，a₁=S₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．
（Ⅱ）b_n=$\frac{n}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}-1-（{2}^{n}-1）}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2ⁿ⁺¹-n-2（n∈N*），∴n=1时，a₁=S₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-n-2-[2ⁿ-（n-1）-2]=2ⁿ-1，n=1时也成立．∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）b_n=$\frac{n}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}-1-（{2}^{n}-1）}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得：T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．