Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直底面ABCD，PA=AB=2，E是棱PB的中点．
（1）若AD=2，求B到平面CDE的距离；
（2）若平面ACE与平面CED夹角的余弦值为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，求此时AD的长为多少？

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B到平面CDE的距离．
（2）设AD=t，求出平面CDE的法向量和平面ACE的法向量，由平面ACE与平面CED夹角的余弦值为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，利用向量法能求出AD的长．

解答 解：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直底面ABCD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=2，E是棱PB的中点，AD=2，
∴B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，0，1），
$\overrightarrow{DE}$=（1，-2，1），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CB}$=（0，-2，0），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=x-2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
∴B到平面CDE的距离d=$\frac{|\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
解：（2）设AD=t，（t＞0），则D（0，t，0），$\overrightarrow{DE}$=（1，-t，1），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=x-ty+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，t），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
∵$\overrightarrow{AC}$=（2，t，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2a+tb=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=a+c=0}\end{array}\right.$，取b=2，得$\overrightarrow{m}$=（-t，2，t），
∵平面ACE与平面CED夹角的余弦值为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+{t}^{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}•\sqrt{4+2{t}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
则t＞0，解得t=4．故AD的长为4．

点评 本题考查点到直线的距离的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．