Question

如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=

6

．
（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）求二面角F-DG-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明AE⊥平面BCD，即可证明平面ABD⊥平面BCD；
（2）建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E-xyz，求出平面CDG的法向量、平面FDG的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F-DG-C的余弦值．

解答： （1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，
∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=

3

，
∵AC=

6

，∴AE²+CE²=AC²，
∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，
又∵AE?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；
（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E-xyz，
则D（0，1，0），C（

3

，0，0），F（0，

1

2

，

3

2

）G（-

3

2

，1，

3

2

），
平面CDG的一个法向量

m

=（0，0，1），
设平面FDG的法向量

n

=（x，y，z），

DF

=（0，-

1

2

，

3

2

），

GF

=（-

3

2

，1，

3

2

）
∴

n • DF =0 n • GF =0

，即

- 1 2 y+ 3 2 z=0 - 3 2 x+y+ 3 2 z=0

，令z=1，得x=3，y=

3

，
故平面FDG的一个法向量

n

=（3，

3

，1），
∴cos＜

m

•

n

＞=

m • n

| m || n |

=

13

13

，
∴二面角F-DG-C的余弦值为-

13

13

．

点评：本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．