Question

已知数列{a_n}，a₁=a，a₂=p（p为常数且p＞0），S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=

n(an-a1)

2

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）试判断数列{a_n}是不是等差数列？若是，求其通项公式；若不是，请说是理由．
（Ⅲ）若记P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

（n∈N^*），求证：P₁+P₂+…+P_n＜2n+3．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a₁=S₁可求a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn=

nan

2

，则Sn+1=

n+1

2

an+1，两式相减得（n-1）a_n+1=na_n，利用累乘法可求得a_n，由a_n可得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+

2

n

-

2

n+2

，由裂项相消法可求得P₁+P₂+…+P_n，于是可得结论；

解答： 解：（Ⅰ）依题意a₁=a，又a₁=S1=

1•(a1-a1)

2

=0，
∴a=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a₁=0，
∴Sn=

nan

2

，则Sn+1=

n+1

2

an+1，两式相减得（n-1）a_n+1=na_n，
故有an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a3

a2

•a2=（n-1）p，n≥2，
又a₁=0也满足上式，∴a_n=（n-1）p，n∈N₊，
故{a_n}为等差数列，其公差为p．
（Ⅲ）由题意Sn=

n(n-1)p

2

，
∴P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+

2

n

-

2

n+2

，
∴P₁+P₂+…+P_n=（2+

2

1

-

2

3

）+（2+

2

2

-

1

2

）+…+（2+

2

n

-

2

n+2

）
=2n+3-

2

n+1

-

2

n+2

＜2n+3．

点评：该题考查等差关系的确定、数列求和等知识，裂项相消法、累乘法是解决数列问题的基本方法，要熟练掌握．