Question

设函数f（x）=mx³-3x+4，m∈R．
（Ⅰ）已知f（x）在区间（m，+∞）上递增，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）存在实数m，使得当x∈[0，2]时，2≤f（x）≤6恒成立，求m的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求f′（x），讨论m的取值，使函数f（x）在（m，+∞）上单调递增，从而求出m的取值范围．
（Ⅱ）讨论m的取值，从而判断函数f（x）在[0，2]上的单调情况，从而使f（x）在[0，2]上最大是6，最小是2，这样便可求出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-3；
若m=0，f′（x）＜0，函数f（x）在R上是减函数，不符合已知条件；
若m≠0，根据已知条件，m＞0，解3mx²-3＞0得：x＞

1

m

或x＜-

1

m

；
∴

m＞0 m≥ 1 m

，解得：m≥1．
∴m的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知①m＞0时，函数f（x）在[0，

1

m

]上单调递减，在（

1

m

，+∞）上单调递增；
∴若

1

m

≥2，即0＜m≤

1

4

时，函数f（x）在[0，2]上单调递减；

f(0)=4=6 f(2)=8m-2=2

，显然这种情况不存在；
若

1

m

＜2，即m＞

1

4

时，函数f（x）在[0，

1

m

）单调递减，在[

1

m

，2]上单调递增；
∴x=

1

m

时，f（x）取到最小值2，∵x=0时，f（x）=4≠6，∴x=2时，函数f（x）取到最大值6；
∴

m ( m )3 - 3 m +4=2 8m-2=6

，解得：m=1．
②若m≤0，函数f（x）在[0，2]上单调递减；
∴

f(0)=4=6 f(2)=8m-2=2

，显然这种情况不存在．
综上可得：m=1．

点评：本题考查根据导数符号判断函数单调性的方法，一元二次不等式解的情况，以及函数的单调性和函数最值的关系，注意对m的讨论要全面．