Question

已知椭圆C：

x2

3

+y²=1，圆O：x²+y²=4上一点A（0，2）．
（Ⅰ）过点A作两条直线l₁、l₂都与椭圆C相切，求直线l₁、l₂的方程并判断其位置关系；
（Ⅱ）有同学经过探究后认为：过圆O上任间一点P作椭圆C的两条切线l₁、l₂，则直线l₁、l₂始终相互垂直，请问这位同学的观点正确吗？证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设切线方程为y=kx+2，代入椭圆方程并化简，得：（1+3k²）x²+12kx+9=0，由此利用△=0能求出直线l₁、l₂的方程并判断其位置关系．
（Ⅱ）这位同学的观点正确，即直线l₁、l₂始终相互垂直．当过点P与椭圆C：

x2

3

+y2=1相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±

3

，直线y=±1恰好为过点P与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l₁，l₂互相垂直；当过点P（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y-n=k（x-m），由

x2 3 +y2=1 y-n=k(x-m)

，得（1+3k²）x²+6k（n-mk）x+3（n-mk）²-3=0，由此利用根的判别式能推导出直线l₁、l₂始终相互垂直．

解答： 解：（Ⅰ）设切线方程为y=kx+2，代入椭圆方程并化简，
得：（1+3k²）x²+12kx+9=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=144k²-36（1+3k²）=0，
解得k₁=1，k₂=-1，
∴两切线方程分别为y=x+2，或y=-x+2，
∵k₁k₂=-1，∴l₁⊥l₂．
（Ⅱ）这位同学的观点正确，即直线l₁、l₂始终相互垂直．
证明如下：
（i）当过点P与椭圆C：

x2

3

+y2=1相切的一条切线的斜率不存在时，
此时切线方程为x=±

3

，
∵点P在圆O：x²+y²=4上，则P（±

3

，±1），
∴直线y=±1恰好为过点P与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l₁，l₂互相垂直．
（ii）当过点P（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，
设切线方程为y-n=k（x-m），
由

x2 3 +y2=1 y-n=k(x-m)

，
得（1+3k²）x²+6k（n-mk）x+3（n-mk）²-3=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=36k²（n-mk）²-4（1+3k²）[3（n-mk）²-3]=0，
整理，得（m²-3）k²-2mnk+（n²-1）=0，
∴k1k2=

n2-1

m2-3

，
∵P（m，n）在圆x²+y²=4上，∴m²+n²=4，
∴m²-3=1-n²，
∴k₁k₂=-1，∴两直线互相垂直．
综上所述，直线l₁、l₂始终相互垂直．

点评：本题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系的判断，考查两直线始终垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．