Question

设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）为平面直角坐标系上的两点，其中x_A，y_A，x_B，y_B∈Z．令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△x|+|△y|=t（t∈Z），且|△x|•|△y|≠0，则称点B为点A的“t-相关点”，记作：B=[ω（A）]_t．已知P₀（x₀，y₀）（x₀，y₀∈Z）为平面上一个动点，平面上点列{P_i}满足：P_i=[ω（P_i-1）]_t，且点P_i的坐标为（x_i，y_i），其中i=1，2，3，…，n．给出以下判断，其中正确的是

 

①若点M为点A的“t-相关点”，则点A也为点M的“t-相关点”．
②若点M为点A的“t-相关点”，点N也为点A的“t-相关点”，则点M为点N的“t-相关点”．
③当t=3时，P₀的相关点有8个，且这8个点可能在一个圆周上，也可能不在一个圆周上；
④当t=3时，P₀与P_n重合，则n一定为偶数．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：①由新定义和加法的交换律，即可判断；
②可举点A（0，0），M（1，2），N（2，1），对照定义加以判断；
③比如P₀（0，0），则列举出所有的相关点，并判断它们都在同一个圆周上；
④从反面考虑，若n为奇数，比如n=1，显然不成立；n=3，可举P₀（0，0），P₁（1，2），P₂（4，2），
P₃（0，0），由定义即可加以判断．

解答： 解：①由新定义和加法的交换律，即可知①正确；
②可举点A（0，0），M（1，2），N（2，1），则点M为点A的“3-相关点”，点N也为点A的“3-相关点”，但点M为点N的“2-相关点”，故②错；
③当t=3时，P₀的相关点有8个，比如P₀（0，0），则相关点有（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，2），（2，1），（-2，1），（2，-1），（-2，-1）共8个，它们在一个圆周上，故③错；
④当t=3时，P₀与P_n重合，若n为奇数，比如n=1，显然不成立；n=3，可举P₀（0，0），P₁（1，2），P₂（4，2），
P₃（0，0），则点P₁为点P₀的“3-相关点”，点P₂也为点P₁的“3-相关点”，但点P₃为点P₂的“6-相关点”，
故n一定为偶数，即④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查新定义及理解运用，注意运用列举法，或从反面考虑，同时考查简单的合情推理，是一道中档题．