Question

【题目】（1）已知双曲线与椭圆有相同焦点，且过点，求双曲线标准方程；

（2）已知椭圆的一个焦点为，椭圆上一点到焦点的最大距离是3，求这个椭圆的离心率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设双曲线标准方程 ，先利用双曲线的的定义求出，再利用与椭圆共焦点可得到，进而可求出，即可得双曲线的标准方程；

（2）由椭圆上一点到焦点的最大距离是3，可得：，又，解出，即可得椭圆的离心率．

解：（1）因为椭圆方程中，

，所以焦点坐标为.

设双曲线标准方程 ，

因为曲线过点 ，

所以 ，

又，

所以即，

所以，又

所以，

所以双曲线标准方程 ；

（2）由椭圆，可知椭圆焦点在轴，

即 ，

因为椭圆上一点到焦点的最大距离是3，

由椭圆定义可得：①，

又因为②，

由①②解得 ，

所以椭圆的离心率．