Question

三棱锥S—ABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时V_S—ABC最大，并求最大值.

Answer 1

a为时，三棱锥的体积最大为

解析:

  方法一  如图所示，

设SC=a，其余棱长均为1，

取AB的中点H，连接HS、HC，

则AB⊥HC，AB⊥HS，

∴AB⊥平面SHC.

在面SHC中，过S作SO⊥HC，则SO⊥平面ABC.

在△SAB中，SA=AB=BS=1，

∴SH=，

设∠SHO=，则SO=SHsin=sin，

∴V_S—ABC=S_△ABC·SO

=××1²×sin

=sin≤.

当且仅当sin=1，即=90°时，三棱锥的体积最大.

a=SH=×=，V_max=.

∴a为时，三棱锥的体积最大为.

方法二  取SC的中点D，可通过V_S—ABC=S_△ABD·SC，转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.