Question

如图在三棱锥S-ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AC=2，BC=

13

，SB=

29

．
（1）证明SC⊥BC．
（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）因为SA⊥面ABC，AC为SC在面ABC内的射影，由三垂线定理可直接得证．
（2）由题意可直接找出侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．

解答：解：（1）∵∠SAB=∠SCA=90°
∴SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A
∴SA⊥面ABC
由于∠ACB=90° 即BC⊥AC
由三重线定理SC⊥BC
（2）∵BC⊥AC BC⊥SC
∴∠SCA是侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角
在Rt△SCB中，由于BC=

13

，SB=

29

SC=4
在Rt△SAC中，由于AC=2 SC=4
∴COS∠SCA=

AC

SC

=

1

2

∴∠SCA=60°
即侧面SBC与底面ABC形成的二面角的大小为60°．

点评：本题考查两条直线垂直的证明、三垂线定理的应用、二面角的求解，考查逻辑推理能力和运算能力．