Question

如图,在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=,M、N分别为AB、SB的中点.

(1)证明AC⊥SB;

(2)求二面角NCMB的大小.

Answer 1

解法一:(1)证明:如图,取AC中点D,连结SD、BD.

∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SD,且AC⊥BD.

∴AC⊥平面SDB.又SB平面SDB,

∴AC⊥SB.

(2)解:∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,

∴平面SDB⊥平面ABC.

过N作NE⊥BD于点E,则NE⊥平面ABC;

过E作EF⊥CM于点F,连结NF,则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角NCMB的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,

∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.

∵SN=NB,

∴NE=SD==,且ED=EB.

在正△ABC中,由平面几何知识可求得EF=MB=,

在Rt△NEF中,tan∠NFE=,

∴二面角NCMB的大小是arctan.

解法二:(1)证明:取AC中点O,连结OS、OB.

∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SO,且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，

∴SO⊥平面ABC.∴SO⊥BO.

如右图建立空间直角坐标系O—xyz,则A(2,0,0),B(0,,0),C(-2,0,0),S(0,0, ),M(1,,0),N(0,, ).

∴=(-4,0,0), =(0, ,-).

∵·=(-4,0,0)·(0, ,-)=0,

∴AC⊥SB.

(2)解:由(1)得 =(3,  ,0), =(-1,0, ),

设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则

取z=1,则x=,y=.

∴n=(, ,1).

又=(0,0,)为平面ABC的一个法向量,

∴cos〈n, 〉=.

∴二面角N-CM-B的大小为arccos.