(1)证明:AC⊥SB;
(2)求二面角S—CM—A的大小;
(3)求点B到平面SCM的距离.
答案:(1)证明:取AC中点O,连结OS、OB.
因为SA=SC,BA=BC,所以AC⊥SO且AC⊥BO.
因为平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,
所以SO⊥面ABC.所以SO⊥BO.
如图所示,建立空间直角坐标系O—xyz,
则A(2,0,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),B(0,2,0).
所以=(-4,0,0),=(0,-2,2).
因为·=(-4,0,0)·(0,-2,2)=0,
所以AC⊥BS.
(2)解:由(1)得M(1,,0).
所以=(3,,0),=(2,0,2).
设n=(x,y,z)为平面SCM的一个法向量,
则
取z=1,则x=-1,y=,所以n=(-1,,1).
又=(0,0,2)为平面ABC的一个法向量,
所以cos〈n,〉=.
所以二面角S—CM—A的大小为arccos.
(3)解:由(1)(2),得=(2,2,0),n=(-1,,1)为平面SCM的一个法向量,
所以点B到平面SCM的距离d=.
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