Question

已知f（x）=ax²+2x-2-a（a≤0）
（1）求函数在区间（0，1]上的零点；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质,函数的零点

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）分类讨论当a=0时，a＜0时，函数的零点是什么，求出即可；
（2）讨论a=0时，a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是什么，求出即可．

解答： 解：（1）①当a=0时，f（x）=2x-2=0，解得x=1；
②当a＜0，f（x）=ax²+2x-2-a=（x-1）（ax+2+a）=0，
解得x=1，或x=-

a+2

a

=-1-

2

a

；
令0＜-1-

2

a

≤1，即1＜-

2

a

≤2，
∴-1＞

2

a

≥-2，解得-2＜a≤-1；
综上，-1≤a≤0时，f（x）的零点是1，
-2＜a＜-1时，f（x）的零点是1，-1-

2

a

，
a≤-2时，∴f（x）的零点是1；
（2）∵f（x）=ax²+2x-2-a（a≤0）
∴①当a=0时，f（x）=2x-2在区间[0，1]上是增函数，最大值是f（1）=0；
②当a＜0时，f（x）=ax²+2x-2-a的图象是抛物线，且开口向下，对称轴是x=-

2

2a

=-

1

a

＞0，
若-

1

a

＜

1

2

，即a＜-2，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）=-2-a；
若-

1

a

=

1

2

，即a=-2，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）=f（1）=0；
若-

1

a

＞

1

2

，即a＞-2，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=a+2-2-a=0；
综上，0≥a≥-2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是0，a＜-2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是-2-a．

点评：本题考查了分类讨论思想的应用问题，也考查了求函数零点的问题，求函数在闭区间上的最值的问题，是易错题目．