Question

函数f（x）=x²-2x-3，定义数列{ x_n}如下：x₁=2，x_n+1是过两点P（4，5），Q_n（ x_n，f（ x_n））的直线PQ_n与x轴交点的横坐标．
（Ⅰ）证明：2≤x_n＜x_n+1＜3；
（Ⅱ）求数列{ x_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x₁=2，直线PQ₁的方程为y-5=

f(2)-5

2-4

(x-4)，当y=0时，可得x2=

11

4

；②假设n=k时，结论成立，即2≤x_k＜x_k+1＜3，直线PQ_k+1的方程为y-5=

f(xk+1)-5

xk+1-4

(x-4)，当y=0时，可得xk+2=

3+4xk+1

2+xk+1

，根据归纳假设2≤x_k＜x_k+1＜3，可以证明2≤x_k+1＜x_k+2＜3，从而结论成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得xn+1=

3+4xn

2+xn

，构造b_n=x_n-3，可得{

1

bn

+

1

4

}是以-

3

4

为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ x_n}的通项公式．

解答：（Ⅰ）证明：①n=1时，x₁=2，直线PQ₁的方程为y-5=

f(2)-5

2-4

(x-4)
当y=0时，∴x2=

11

4

，∴2≤x₁＜x₂＜3；
②假设n=k时，结论成立，即2≤x_k＜x_k+1＜3，直线PQ_k+1的方程为y-5=

f(xk+1)-5

xk+1-4

(x-4)
当y=0时，∴xk+2=

3+4xk+1

2+xk+1

∵2≤x_k＜x_k+1＜3，∴xk+2=4-

5

2+xk+1

＜4-

5

2+3

=3
xk+2-xk+1=

(3-xk+1)(1+xk+1)

2+xk+1

＞0
∴x_k+1＜x_k+2
∴2≤x_k+1＜x_k+2＜3
即n=k+1时，结论成立
由①②可知：2≤x_n＜x_n+1＜3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得xn+1=

3+4xn

2+xn

设b_n=x_n-3，∴

1

bn+1

=

5

bn

+1
∴

1

bn+1

+

1

4

= 5(

1

bn

+

1

4

)
∴{

1

bn

+

1

4

}是以-

3

4

为首项，5为公比的等比数列
∴

1

bn

+

1

4

=(-

3

4

)×5n-1
∴bn=-

4

3×5n-1+1

∴xn=bn+3=3-

4

3×5n-1+1

．

点评：本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．