Question

已知圆x²+y²=8，过点P₀（-1，2）的直线l与圆交于A、B两点，O为坐标原点，分别求满足下列条件时直线l的方程：
（1）|AB|=

14

；
（2）

OA

•

OB

=-6．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,直线的一般式方程,直线与圆相交的性质

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：（1）当AB⊥x轴时，把x=-1代入圆x²+y²=8，解得y，直接验证即可；当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y-2=k（x+1），化为kx-y+k+2=0，
求出圆心（0，0）到直线AB的距离d，利用(

1

2

|AB|)2+d2=R2，解出k即可得出．
（2）当AB⊥x轴时，把x=-1代入圆x²+y²=8，解得y，验证是否满足

OA

•

OB

=-6，即可；当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y-2=k（x+1），化为kx-y+k+2=0，与圆的方程联立可得（1+k²）x²+（2k²+4k）x+k²+4k-4=0，△＞0，利用根与系数的关系可得y₁y₂，利用-6=

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂解出即可．

解答： 解：（1）当AB⊥x轴时，把x=-1代入圆x²+y²=8，可得1+y²=8，解得y=±

7

，此时|AB|=2

7

≠

14

，舍去；
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y-2=k（x+1），化为kx-y+k+2=0，
∴圆心（0，0）到直线AB的距离d=

|k+2|

k2+1

，
∴(

1

2

|AB|)2+d2=R2，
∴(

1

2

14

)2+(

|k+2|

k2+1

)2=8，
化为7k²-8k+1=0，
解得k=1或

1

7

．
∴直线l的方程为x-y+3=0，或x-7y+15=0．
（2）当AB⊥x轴时，把x=-1代入圆x²+y²=8，可得1+y²=8，解得y=±

7

，此时

OA

•

OB

=1-7=-6，满足条件，因此直线x=-1符合条件；
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y-2=k（x+1），化为kx-y+k+2=0，
联立

kx-y+k+2=0 x2+y2=8

，
化为（1+k²）x²+（2k²+4k）x+k²+4k-4=0，
△=（2k²+4k）²-4（1+k²）（k²+4k-4）＞0，
∴x₁+x₂=-

2k2+4k

1+k2

，x1x2=

k2+4k-4

1+k2

．
y₁y₂=（kx₁+k+2）（kx₂+k+2）=k²x₁x₂+（k²+2k）（x₁+x₂）+（k+2）²，
∵-6=

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（k²+2k）（x₁+x₂）+（k+2）²，
∴（k²+4k-4）+

-(k2+2k)(2k2+4k)

1+k2

+（k+2）²=-6，
化为4k+3=0，
解得k=-

3

4

，满足△＞0．
∴直线l的方程为-

3

4

x-y-

3

4

+2=0，化为3x+4y-5=0．
综上可得直线l的方程为：x=-1或3x+4y-5=0．

点评：本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质、弦长公式、点到直线的距离公式公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．