Question

已知定点A（-2，0），F（1，0），定直线l：x=4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的

1

2

．设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点．
（1）求C的方程；
（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y）为E上任意一点，依题意有

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，化简即可得出；
（2）设DE的方程为x=ty+1，与椭圆方程联立化为（3t²+4）y²+6ty-9=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由A（-2，0），可得直线AD的方程为y=

y1

x1+2

(x+2)，点M(4，

6y1

x1+2

)，同理可得N(4，

6y2

x2+2

)．利用根与系数的关系只要证明

FM

•

FN

=0即可．

解答： 解：（1）设P（x，y）为E上任意一点，依题意有

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
化为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设DE的方程为x=ty+1，联立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，化为（3t²+4）y²+6ty-9=0，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则y1+y2=

-6t

3t2+4

，t₁t₂=

-9

3t2+4

．
由A（-2，0），可得直线AD的方程为y=

y1

x1+2

(x+2)，点M(4，

6y1

x1+2

)，
同理可得N(4，

6y2

x2+2

)．
∴

FM

•

FN

=(3，

6y1

x1+2

)•(3，

6y2

x2+2

)
=9+

36y1y2

(x1+2)(x2+2)

=9+

36y1y2

(ty1+3)(ty2+3)

=9+

36y1y2

t2y1y2+3t(y1+y2)+9

=9+

36×(-9)

-9t2+3t(-6t)+9(3t2+4)

=9-9=0．
∴以线段MN为直径的圆恒过定点F．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．