Question

【题目】如图，在四棱台中，底面是正方形，且，点，分别为棱，的中点，二面角的平面角大小为.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）将四棱台还原为棱锥，延长，，，，交于点，取中点，连接，，可得，，可证平面，即可证明结论；

（2）连接交于点，连接，可得，转化为求直线与平面所成角，由（1）可得平面平面，过作，可证是直线与平面所成角，在中求出即可.

（1）如图所示，延长，，，，交于点，

由题意得，取中点，连接，，

则，，又，

所以平面，又平面，

所以；

（2）连接交于点，连接，

则且，

所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，

由（Ⅰ）得平面，又，所以平面，

又平面，所以平面平面，

又平面平面，

过作平面，

则是直线与平面所成角.

由（Ⅰ）得是二面角的平面角，

所以，

由余弦定理可得，

再由正弦定理得，

，

在中，，

在直角中，，

所以直线与平面所成角的正弦值为.