Question

【题目】已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）设函数，证明时， .

Answer 1

【答案】(1) ;函数的单调递减区间为，单调递增区间为函数的单调递减区间为，单调递增区间为;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（1）由题得，根据曲线在点处的切线方程，列出方程组，求得的值，得到的解析式，即可求解函数的单调区间；

（2）由（1）得 根据由，整理得，

设，转化为函数的最值，即可作出证明.

试题解析：

（1）由题得，函数的定义域为， ，

因为曲线在点处的切线方程为，

所以解得.

令，得，

当时， ， 在区间内单调递减；

当时， ， 在区间内单调递增.

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由（1）得， .

由，得，即.

要证，需证，即证，

设，则要证，等价于证： .

令，则，

∴在区间内单调递增， ,

即，故.