Question

13．已知正数x，y满足|lg$\frac{x}{y}$|≤1，且|lg（x²y）|≤1，求xy的取值范围．

Answer 1

分析 根据对数的运算法则以及不等式之间的关系进行求解即可．

解答 解：∵正数x，y满足|lg$\frac{x}{y}$|≤1，且|lg（x²y）|≤1，
∴|lgx-lgy|≤1，且|2lgx+lgy|≤1，
即-1≤lgx-lgy≤1，且-1≤2lgx+lgy≤1，
设lgx+lgy=m（lgx-lgy）+n（2lgx+lgy），
得$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=1}\\{n-m=1}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{1}{3}$，n=$\frac{2}{3}$，
即lgx+lgy=-$\frac{1}{3}$（lgx-lgy）+$\frac{2}{3}$（2lgx+lgy），
∵-1≤lgx-lgy≤1，且-1≤2lgx+lgy≤1，
∴-$\frac{1}{3}$≤-$\frac{1}{3}$（lgx-lgy）≤$\frac{1}{3}$，且-$\frac{2}{3}$≤$\frac{2}{3}$（2lgx+lgy）≤$\frac{2}{3}$，
则-1≤-$\frac{1}{3}$（lgx-lgy）+$\frac{2}{3}$（2lgx+lgy）≤1，
即-1≤lgxy≤1，
则$\frac{1}{10}$≤xy≤10．

点评 本题主要考查不等式的范围的应用，根据不等式之间的关系，利用待定系数法进行分解是解决本题的关键．