Question

【题目】三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB＝AA1＝A1B＝4，BC＝2，AC＝2，点F为AB的中点，点E为线段A1C1上的动点.

（1）求证：BC⊥平面A1EF；

（2）若∠B1EC1＝60°，求四面体A1B1EF的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

（1）利用等边三角形的性质可得：A1F⊥AB.利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理可得：A1F⊥BC.利用勾股定理的逆定理可得：BC⊥AC.进而证明结论.

（2）利用直角三角形的边角关系可得：EC1，A1E.由（I）可得：A1F⊥底面A1B1C1，A1F⊥A1E，A1F＝2.可得△A1EF的面积S.由（I）可得：BC⊥平面A1EF，可得B1C1⊥平面A1EF，即可得出四面体A1B1EF的体积.

（1）∵AB＝AA1＝A1B，点F为AB的中点，∴A1F⊥AB，

∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，

∴A1F⊥平面ABC，BC平面ABC，∴A1F⊥BC.

∵AB＝4，BC＝2，AC＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.

∵AC∥A1C1，∴BC⊥A1C1，又A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF；

（2）∵∠B1EC1＝60°，∴EC1，∴A1E＝2.

由（1）可得：A1F⊥底面A1B1C1，∴A1F⊥A1E，A1F＝2.

∴△A1EF的面积S4.

由（1）可得：BC⊥平面A1EF，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面A1EF，

∴四面体A1B1EF的体积SB1C14×2.