【题目】已知抛物线C1:x2=2py(p>0),圆C2:x2+y2﹣8y+12=0的圆心M到抛物线C1的准线的距离为,点P是抛物线C1上一点,过点P,M的直线交抛物线C1于另一点Q,且|PM|=2|MQ|,过点P作圆C2的两条切线,切点为A、B.
(Ⅰ)求抛物线C1的方程;
(Ⅱ)求直线PQ的方程及的值.
【答案】(Ⅰ)x2=2y;(Ⅱ)21
【解析】
(Ⅰ)由已知条件推导出4,由此能求出抛物线C1的方程.
(Ⅱ)设PQ的方程:y=kx+4,由,得x2﹣2kx﹣8=0,由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线PQ的方程及
的值.
(Ⅰ),∴M(0,4),
抛物线的准线方程是y
,
依题意:4,∴p=1,
∴抛物线C1的方程为:x2=2y.
(Ⅱ)设PQ的方程:y=kx+4,
由,得x2﹣2kx﹣8=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则,
∵|PM|=2|MQ|,∴,∴﹣x1=2x2,①
又x1+x2=2k,…②,x1x2=﹣8,③,
由①②③得k=±1,
∴PQ的方程为:y=±x+4.
取PQ的方程:y=x+4,和抛物线x2=2y,联立得P点坐标为P(4,8)
∴||=4
,连接AM,BM,|
|=|
|
,
设∠APM=α,则sinα,
∴|
|
|
|cos2α
=28(1﹣2sin2α)=21.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,直线
,圆
的方程为
,直线
被圆
截得的弦长与椭圆
的短轴长相等,椭圆
的左顶点为
,上顶点为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知经过点且斜率为
直线
与椭圆
有两个不同的交点
和
,请问是否存在常数
,使得向量
与
共线?如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线交y轴正半轴于点B,且有
,当点A的纵坐标为6时,
为正三角形.
(1)求C的方程;
(2)若直线,且
和C有且只有一个公共点D,证明:直线AD过定点,并求出该定点坐标.
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【题目】在平行四边形中,
,
,
,
是EA的中点(如图1),将
沿CD折起到图2中
的位置,得到四棱锥是
.
(1)求证:平面PDA;
(2)若PD与平面ABCD所成的角为.且
为锐角三角形,求平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
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【题目】已知抛物线和
轴上的定点
,过抛物线焦点作一条直线交
于
、
两点,连接
并延长,交
于
、
两点.
(1)求证:直线过定点;
(2)求直线与直线
最大夹角为
,求
.
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【题目】已知数列的前
项和为
,
(
为常数)对于任意的
恒成立.
(1)若,求
的值;
(2)证明:数列是等差数列;
(3)若,关于
的不等式
有且仅有两个不同的整数解,求
的取值范围.
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【题目】如图,是正方形,点
在以
为直径的半圆弧上(
不与
,
重合),
为线段
的中点,现将正方形
沿
折起,使得平面
平面
.
(1)证明:平面
.
(2)若,当三棱锥
的体积最大时,求
到平面
的距离.
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【题目】三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面AA1B1B⊥平面ABC,AB=AA1=A1B=4,BC=2,AC=2,点F为AB的中点,点E为线段A1C1上的动点.
(1)求证:BC⊥平面A1EF;
(2)若∠B1EC1=60°,求四面体A1B1EF的体积.
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