Question

【题目】已知抛物线C1：x2＝2py（p＞0），圆C2：x2+y2﹣8y+12＝0的圆心M到抛物线C1的准线的距离为，点P是抛物线C1上一点，过点P，M的直线交抛物线C1于另一点Q，且|PM|＝2|MQ|，过点P作圆C2的两条切线，切点为A、B．

（Ⅰ）求抛物线C1的方程；

（Ⅱ）求直线PQ的方程及的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x2＝2y；（Ⅱ）21

【解析】

（Ⅰ）由已知条件推导出4，由此能求出抛物线C1的方程．

（Ⅱ）设PQ的方程：y＝kx+4，由，得x2﹣2kx﹣8＝0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线PQ的方程及的值．

（Ⅰ），∴M（0,4），

抛物线的准线方程是y，

依题意：4，∴p＝1，

∴抛物线C1的方程为：x2＝2y．

（Ⅱ）设PQ的方程：y＝kx+4，

由，得x2﹣2kx﹣8＝0，设P（x1,y1），Q（x2,y2），

则，

∵|PM|＝2|MQ|，∴，∴﹣x1＝2x2，①

又x1+x2＝2k，…②，x1x2＝﹣8，③，

由①②③得k＝±1，

∴PQ的方程为：y＝±x+4．

取PQ的方程：y＝x+4，和抛物线x2＝2y，联立得P点坐标为P（4,8）

∴||＝4，连接AM，BM，||＝||，

设∠APM＝α，则sinα，

∴||||cos2α

＝28（1﹣2sin2α）＝21．