Question

【题目】已知数列的前项和为，（为常数）对于任意的恒成立．

（1）若，求的值；

（2）证明：数列是等差数列；

（3）若，关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）将代入已知等式即可求得结果；

（2）利用可得到递推关系，将换成后两式作差可得到，从而证得结论；

（3）将不等式化为，令，则不等式的正整数解只有两个，通过分析可知除以外只能有个符合要求；当时，通过导数可求得，分别讨论、和时的取值，得到符合题意的范围后，解不等式求得结果.

（1）当时，，，解得：；

（2）由（1）知：，

，，

，则，

，又，，，

∴对任意，成立，数列是等差数列；

（3）由（2）可知：，即，

即，，

令，题目条件转化为满足不等式的正整数解只有两个，

若符合，则，即；若符合，则，；

若符合，则为任意实数，即除以外只能有个符合要求.

当，时，，解得：，

令，则，

令，则，

当时，恒成立，在上单调递增，

，，

当时，至少存在、、满足不等式，不符合要求；

当时，对于任意，都不满足不等式，也不满足，

此时只有、满足；

当时，只有符合；

故，即，解得：或；

的取值范围是.