【题目】椭圆的焦点为
和
,过
的直线
交
于
两点,过
作与
轴垂直的直线
,又知点
,直线
记为
,
与
交于点
.设
,已知当
时,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求证:无论如何变化,点
的横坐标是定值,并求出这个定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)定值为3
【解析】
(Ⅰ)设椭圆的方程为,当
时,不妨设
,则
,由椭圆的定义得
,从而
,可得点A在y轴上,不妨设
,由
可得
,将B代入椭圆方程即可;
(Ⅱ)设直线AB的方程为,
,联立椭圆方程可得
,进一步可得
,
,利用点斜式可得BH的方程以及直线
的方程,解方程组即可.
(Ⅰ)设椭圆的方程为,其中
,由已知,当
时,不妨设
,
则,又
,所以
,由椭圆的定义得
,
从而,此时点A在y轴上,不妨设
,
从而由已知条件可得
,解得
,
故,代入椭圆方程,解得
,所以
,
故所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设直线AB的方程为,
,将
代入椭圆
中,得
,即
,
,所以
,
由已知,,直线BH的斜率
,
所以直线BH的方程为,而直线
的方程为
,代入
,
解得,故点
的横坐标是定值3.
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【题目】华为手机作为华为公司三大核心业务之一,2018年的销售量跃居全球第二名.某机构随机选取了100名华为手机的顾客进行调查,并将这100人的手机价格按照,
,…,
分成7组,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)若是
的2倍,求
,
的值;
(2)求这100名顾客手机价格的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中间值作代表,精确到个位);
(3)利用分层抽样的方式从手机价格在和
的顾客中选取6人,并从这6人中随机抽取2人进行回访,求抽取的2人手机价格在不同区间的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程
.
(Ⅰ)求直线的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线
交于
,
两点,求
的大小.
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【题目】已知曲线的参数方程为:
(
为参数),
的参数方程为:
(
为参数).
(1)化、
的参数方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若直线的极坐标方程为:
,曲线
上的点
对应的参数
,曲线
上的点
对应的参数
,求
的中点
到直线
的距离.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,直线
,圆
的方程为
,直线
被圆
截得的弦长与椭圆
的短轴长相等,椭圆
的左顶点为
,上顶点为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知经过点且斜率为
直线
与椭圆
有两个不同的交点
和
,请问是否存在常数
,使得向量
与
共线?如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,ABCD为菱形,
平面ABCD,连接AC,BD交于点O,
,
,E是棱PC上的动点,连接DE.
(1)求证:平面平面
;
(2)当面积的最小值是4时,求此时点E到底面ABCD的距离.
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【题目】去年年底,某商业集团公司根据相关评分细则,对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四组,其频率分布直方图如下图所示,集团公司依据评估得分,将这些连锁店划分为A,B,C,D四个等级,等级评定标准如下表所示.
评估得分 | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100) |
评定等级 | D | C | B | A |
(1)估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数;
(2)从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验,求至少选一家A等级的概率.
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【题目】已知函数.
(1)若函数在
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)若函数有两个不同的零点
.
(ⅰ)求实数的取值范围;
(ⅱ)求证:.(其中
为
的极小值点)
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【题目】已知数列的前
项和为
,
(
为常数)对于任意的
恒成立.
(1)若,求
的值;
(2)证明:数列是等差数列;
(3)若,关于
的不等式
有且仅有两个不同的整数解,求
的取值范围.
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