【题目】在四面体中,已知
,
.
(1)当四面体体积最大时,求的值;
(2)当时,设四面体
的外接球球心为
,求
和平面
所成夹角的正弦值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)取中点
,连接
,
,过点
作
,由题意可知当
平面
时,四面体的面积最大,求出此时的
的值即可得解;
(2)在线段上取
,使
,
为
的内心,过
作
平面
,则球心在直线
上,设
,球的半径为
,由勾股定理求得
后,由
即可得解.
(1)取中点
,连接
,
,过点
作
,
由可得
,
,
,
由可得
平面
,
又平面
,所以平面
平面
,所以
平面
,
即即为四面体的高,由
,可知当
平面
四面体面积最大,
此时即
的值为
;
(2)当时,
,则
为
的中点,
所以,
,
在线段上取
,使
,易知
为
的内心,
,
过作
平面
,则球心在直线
上,
球心为,过点
作
,连接
,
,则
,
设,球的半径为
,则
,
则,
,
所以,解得
,
所以,
,
,
设和平面
所成夹角为
,
由平面
可知
,
所以和平面
所成夹角的正弦值为
.
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【题目】已知曲线的参数方程为:
(
为参数),
的参数方程为:
(
为参数).
(1)化、
的参数方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若直线的极坐标方程为:
,曲线
上的点
对应的参数
,曲线
上的点
对应的参数
,求
的中点
到直线
的距离.
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【题目】已知函数.
(1)若函数在
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)若函数有两个不同的零点
.
(ⅰ)求实数的取值范围;
(ⅱ)求证:.(其中
为
的极小值点)
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【题目】已知正方体的棱长为1,P是空间中任意一点,下列正确命题的个数是( )
①若P为棱中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为
;
②若P在线段上运动,则
的最小值为
;
③若P在半圆弧CD上运动,当三棱锥的体积最大时,三棱锥
外接球的表面积为
;
④若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等,则
截此正方体所得截面面积的最大值为
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】在平行四边形中,
,
,
,
是EA的中点(如图1),将
沿CD折起到图2中
的位置,得到四棱锥是
.
(1)求证:平面PDA;
(2)若PD与平面ABCD所成的角为.且
为锐角三角形,求平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
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【题目】为了政府对过热的房地产市场进行调控决策,统计部门对城市人和农村人进行了买房的心理预期调研,用简单随机抽样的方法抽取110人进行统计,得到如下列联表:
买房 | 不买房 | 纠结 | |
城市人 | 5 | 15 | |
农村人 | 20 | 10 |
已知样本中城市人数与农村人数之比是3:8.
分别求样本中城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数;
用独立性检验的思想方法说明在这三种买房的心理预期中哪一种与城乡有关?
参考公式:.
k |
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【题目】已知数列的前
项和为
,
(
为常数)对于任意的
恒成立.
(1)若,求
的值;
(2)证明:数列是等差数列;
(3)若,关于
的不等式
有且仅有两个不同的整数解,求
的取值范围.
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【题目】已知点,
分别在
轴,
轴上运动,
,点
在线段
上,且
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)直线与
交于
,
两点,
,若直线
,
的斜率之和为2,直线
是否恒过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程与圆
的直角坐标方程;
(2)设动点在圆
上,动线段
的中点
的轨迹为
,
与直线
交点为
,且直角坐标系中,
点的横坐标大于
点的横坐标,求点
的直角坐标.
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