Question

【题目】已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）

①若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为；

②若P在线段上运动，则的最小值为；

③若P在半圆弧CD上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为；

④若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据异面直线的夹角求解，棱锥外接球的求解，以及正方体截面的性质，对选项进行逐一分析即可.

对于①，如图所示，

由，可知即为异面直线AE与CD所成的角．

设正方体的棱长为2，连接BE，则在中，，

，故正确

对于②，将三角形与四边形沿展开到同一个平面上，如图所示．

由图可知，线段的长度即为的最小值．

在中，利用余弦定理可得，故错误.

对于③，如下图所示：

当P为中点时，三棱锥体积最大，

此时，三棱锥的外接球球心是AC中点，

半径为﹐其表面积为．故正确.

对于④﹐平面与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，

只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可，如图所示：

．则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等．

若点E，F，G，H，M，N分别为相应棱的中点，

可得平面EFGHMN平行于平面PQR，且六边形EFGHMN为正六边形．

正方体棱长为1，所以正六边形EFGHMN的边长为，

可得此正六边形的面积为，为截面最大面积．

故正确的命题有3个．

故选：C.