Question

已知二次函数f(x)对任意实数t满足关f(2+t)=f(2-t).且f(x)有最小值-9.又知函数f(x)的图象与x轴有两个交点，它们之间距离为6，求函数f(x)的解析式.

Answer 1

解法一：（待定系数法之一般解析式）设f(x)=ax²+bx+c(a≠0),

∵f(2+t)=f(2-t)，

∴函数图象的对称轴为x=2.

∴-=2.          ①

又∵f(x)有最小值为-9，

则=-9.          ②

又∵f(x)的图象与x轴两交点距离为6，则6=|x₁-x₂|=,             ③

联立①②③解方程组得a=1,b=-4,c=-5.

∴f(x)=x²-4x-5.

解法二：（待定系数法之顶点式）设f(x)=a(x-2)²-9.由于只含有一个待定系数a，因此会大大缩短解题过程，应视为一个较优方案.

展开化简得f(x)=ax²-4ax+4a-9，

于是x₁+x₂=4，x₁x₂=4a-9.

由③得6=，解得a=1，因此f(x)=x²-4x-5.

解法三：（待定系数法之标根式）∵函数图象与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点，且又知x=2为其对称轴，有|AB|=6，故知x₁=2-3=-1，x₂=2+3=5，于是可设f(x)=a(x+1)(x-5)，从二次函数图象性质知x=2时，f(x)_min=-9，故f(2)=a(2+1)(2-5)=-9,解得a=1.因此f(x)=x²-4x-5.