Question

已知函数y=f（x），x∈N^*，y∈N^*，满足：①对任意x1，x2∈N*，x1≠x2，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）；②对任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．
（1）试证明：f（x）为N^*上的单调增函数；
（2）求f（1）+f（6）+f（30）；
（3）令an=f(3n)，n∈N*，试证明：Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

，判断S_n与

n

4n+2

的大小（不需要证明）

Answer 1

分析：（1）由①知，对任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），由此能够证明函数f（x）为N^*上的单调增函数．
（2）令f（1）=a，则a＞1，由f（f（1））=3，即得f（a）=3．由f（a）＞f（1）=a，即a＜3．于是得1＜a＜3，又a∈N^*，从而a=2，即f（1）=2，由此能求出f（1）+f（6）+f（30）．
（3）法一：f(an)=f(f(3n))=3×3n=3n+1，an+1=f(3n+1)=f(f(an))=3an，a₁=f（3）=6．即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．故an=6×3n-1=2×3n(n=1，2，3…)．由此能够证明

1

4

(1-

1

3n

)＜

1

4

，（12分）
法二：裂项求和：由

1

an

=

1

2×3n

=

1

4

(

1

3n-1

-

1

3n

)，知3n=(1+2)n=1+

C

1 n

×2+

C

2 n

×22+…+

C

n n

×2n≥1+2n，由此能够证明

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

．

解答：解：（1）由①知，对任意a，b∈N^*，a＜b，
都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N^*上的单调增函数．（3分）
（2）令f（1）=a，则a＞1，
显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，
又a∈N^*，从而a=2，即f（1）=2．（5分）
而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，（7分）
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，因此f（30）=54+3=57．
从而f（1）+f（6）+f（30）=2+9+57=68．（9分）
（3）解法一：f(an)=f(f(3n))=3×3n=3n+1，
an+1=f(3n+1)=f(f(an))=3an，a₁=f（3）=6．
即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴an=6×3n-1=2×3n(n=1，2，3…)．（11分）
于是

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

2

(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)=

1

2

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

4

(1-

1

3n

)，
显然

1

4

(1-

1

3n

)＜

1

4

，（12分）
解法二：裂项求和：

1

an

=

1

2×3n

=

1

4

(

1

3n-1

-

1

3n

)
（不需要证明）3n=(1+2)n=1+

C

1 n

×2+

C

2 n

×22+…+

C

n n

×2n≥1+2n，
从而

1

4

(1-

1

3n

)≥

1

4

(1-

1

2n+1

)=

n

4n+2

．
综上所述，

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

．（14分）

点评：本题考查单调函数的证明，考查函数值的求法，考查不等式的证明．具体涉及到数列的性质和应用、函数与数列的有机结合，解题时要认真审题，注意裂项求和法的灵活运用．