Question

19．已知实数x，y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x-4y+1≤0}\\{x+y-2≤0}\end{array}}\right.$，则z=3|x|+y的最小值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由线性约束条件画出可行域，转化目标函数为分段函数，根据角点法，求出目标函数的最小值．

解答 解：作出不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x-4y+1≤0}\\{x+y-2≤0}\end{array}}\right.$，表示的平面区域，如图所示：

z=3|x|+y，$可得y=-3|x|+z=\left\{\begin{array}{l}{-3x+z，x≥0}\\{3x+z，x＜0}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x-4y+1=0}\end{array}\right.$，得A（-1，0），此时z=3，
$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$可得B（0，2），此时z=2．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+1=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$可得C（$\frac{7}{5}$，$\frac{3}{5}$），此时z=$\frac{24}{5}$
x-4y+1=0$时，x=0，y=\frac{1}{4}$，此时z=$\frac{1}{4}$
z=3|x|+y的最小值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．