Question

9．在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是②．
①BC∥面PDF；
②面PDF⊥面ABC；
③DF⊥面PAE；
④面PAE⊥面ABC．

Answer 1

分析 根据正四面体的结构特征，利用空间线面位置关系的判定定理进行证明或说明错误原因．

解答 解：∵D，F是AB，AC的中点，∴BC∥DF，
∴BC∥平面PDF，故①正确；
过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则O为△ABC的中心，
∴O在AE上，且AO=$\frac{2}{3}$AE，
设AE与DF的交点为M，连接PM，
则AM=$\frac{1}{2}$AE，∴O，M不重合，∴面PDF与面ABC不垂直，故②错误；
∵三棱锥P-ABC是正四面体，
∴PE⊥BC，AE⊥BC，
∴BC⊥平面PAE，又DF∥BC，
∴DF⊥平面PAE，故③正确；
∵PO?平面PAE，PO⊥平面ABC，
∴面PAE⊥面ABC．故④正确．
故答案为：②．

点评 本难题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．