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(2013•嘉定区二模)设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求k的值;
(2)(理)若f(1)=
32
,且g(x)=a2x+a-2x-2m•f(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
(文)若f(1)<0,试说明函数f(x)的单调性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的取值范围.
分析:(1)根据奇函数的定义:对任意x∈R,f(-x)=-f(x),或性质可得f(0)=0,由此求得k值.
(2)(理)利用换元法,将函数转化为二次函数,研究函数的单调性,得到函数g(x)取得最小值.利用条件,就可以求m的值.
(文)由f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),f(1)<0,求得0<a<1,f(x)在R上单调递减,不等式化为f(x2+tx)<f(x-4),即x2+(t-1)x+4>0 恒成立,由△<0求得t的取值范围.
解答:解:(1)由题意,对任意x∈R,f(-x)=-f(x),
即a-x-(k-1)ax=-ax+(k-1)a-x
即(k-1)(ax+a-x)-(ax+a-x)=0,(k-2)(ax+a-x)=0,
因为x为任意实数,所以k=2. 
解法二:因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即1-(k-1)=0,k=2.
当k=2时,f(x)=ax-a-x,f(-x)=a-x-ax=-f(x),f(x)是奇函数.
所以k的值为2.
(2)(理)由(1)f(x)=ax-a-x,因为f(1)=
3
2
,所以a-
1
a
=
3
2

解得a=2.
故f(x)=2x-2-x,g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x),
令t=2x-2-x,则22x+2-2x=t2+2,由x∈[1,+∞),得t∈[
3
2
 , +∞)

所以g(x)=h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2t∈[
3
2
 , +∞)

m<
3
2
时,h(t)在[
3
2
 , +∞)
上是增函数,则h(
3
2
)=-2
9
4
-3m+2=-2

解得m=
25
12
(舍去).
m≥
3
2
时,则f(m)=-2,2-m2=-2,解得m=2,或m=-2(舍去).
综上,m的值是2.
(2)(文)由(1)知f(x)=ax-a-x,由f(1)<0,得a-
1
a
<0
,解得0<a<1.
当0<a<1时,y=ax是减函数,y=-a-x也是减函数,所以f(x)=ax-a-x是减函数.
由f(x2+tx)+f(4-x)<0,所以f(x2+tx)<-f(4-x),
因为f(x)是奇函数,所以f(x2+tx)<f(x-4).
因为f(x)是R上的减函数,所以x2+tx>x-4即x2+(t-1)x+4>0对任意x∈R成立,
所以△=(t-1)2-16<0,
解得-3<t<5.
所以,t的取值范围是(-3,5).
点评:本题考查指数型复合函数的性质以及应用,考查函数的奇偶性的应用,属于中档题.
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