Question

已知函数f（x）=ax³-

3

2

x²+1，（x∈R，a＞0），若在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立等价于在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）_min＞0，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=ax³-

3

2

x²+1，（x∈R，a＞0）
∴f′（x）=3ax²-3x，
由f′（x）=0，得x=0，或x=

1

a

，
①当

1

a

≥

1

2

，0＜a≤2时，
∵f（-

1

2

）=

5

8

-

a

8

，f（

1

2

）=

5

8

+

a

8

，f（0）=1，
∴在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）_min=

5

8

-

a

8

，
∵在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）_min=

5

8

-

a

8

＞0，解得a＜5，
∴0＜a≤3．
②当

1

a

＜

1

2

，a＞2时，
∵f（-

1

2

）=

5

8

-

a

8

，f（

1

2

）=

5

8

+

a

8

，f（0）=1，f（

1

a

）=1-

1

2a2

，
∴在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）_min=

5

8

-

a

8

，
∵在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）_min=

5

8

-

a

8

＞0，解得a＜5，
∴3＜a＜5．
综上所述，a的取值范围是（0，5）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．