Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且，M是PB的中点．
（1）求AC与PB所成的角的余弦值；
（2）求二面角P-AC-M的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在点N，使DN∥平面AMC，若存在，确定点N位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：方法一：（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP方向为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线AC与PB的言论自由向量，代入向量夹角公式，即可求出AC与PB所成的角的余弦值；
（2）分别求出平面PAD与平面ACM的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角P-AC-M的余弦值；
（3）设，根据DN∥平面AMC，则直线DN的方向向量与平面AMC的法向量垂直，数量积为0，我们可以构造出关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可确定N点位置．
方法二：（1）过B作BE∥PA，且BE=PA，连接CE、AE，则∠CAE即为AC与PB所成的角，解三角形CAE，即可求出AC与PB所成的角的余弦值；
（2）取PC中点N连MN，则MN∥BC，进而MN⊥平面PAC．取AC中点H，连NH，MH，可证得∠MHN即为二面角P-AC-M的平面角．解三角形MHN，即可求出二面角P-AC-M的余弦值；
（3）连DB交AC于点F，取PM中点G，连DG、FM，则DG∥FM，由三角形中位定理，可得DG∥FM，由线面平行的判定定理可得DG∥平面AMC，连DN，同理可证GN∥平面AMC，由面面平行的判定定理可得：平面DGN∥平面AMC，再由面面平行的性质定理即可得到DN∥平面AMC．
解答：解：[方法一]
（1）如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），M（0，1，），
∴，
∴．（4分）
（2）设平面AMC的一个法向量为，∵，，
∴．
令x=1，则y=-1，z=2，
∴．
∵，，
∴是平面PAC的一个法向量，
∴．
∴二面角P-AC-M的余弦值为．（8分）
（3）存在，N为PC中点．
设，
则．
依题意，
∴，∴，即N为PC中点．（12分）
[方法二]（1）如图，过B作BE∥PA，且BE=PA，
连接CE、AE，则∠CAE即为AC与PB所成的角，
由已知可得，，
∴．（4分）
（2）取PC中点N连MN，则MN∥BC，
∴MN⊥平面PAC．
取AC中点H，连NH，MH，
则NH⊥AC，MH⊥AC，∴∠MHN即为二面角P-AC-M的平面角．
由，∴，
∴．（8分）
（3）存在，PC中点N即为所求．
连DB交AC于点F，
∵，
∴，
取PM中点G，连DG、FM，则DG∥FM，
又DG?平面AMC，FM?平面AMC，
∴DG∥平面AMC，
连DN，则GN∥MC，同理可证GN∥平面AMC，又GN∩DG=D，
∴平面DGN∥平面AMC，
∴DN∥平面AMC．（12分）
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角及直线与平面平行的判定，方法一（向量法）是关键是建立适当的空间坐标系，将空间直线与平面间的位置关系及夹角问题转化为向量的夹角问题，方法二（几何法）的关键是熟练掌握空间中直线与平面平行及垂直的定义、判定、性质及几何特征，建立良好的空间想像能力．