【题目】四棱锥中,底面
是边长为
的菱形,
,
是等边三角形,
为
的中点,
.
(1)求证:;
(2)若在线段
上,且
,能否在棱
上找到一点
,使平面
平面
?若存在,求四面体
的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)连接PF,BD由三线合一可得AD⊥BF,AD⊥PF,故而AD⊥平面PBF,于是AD⊥PB;
(2)先证明PF⊥平面ABCD,再作PF的平行线,根据相似找到G,再利用等积转化求体积.
连接PF,BD,
∵是等边三角形,F为AD的中点,
∴PF⊥AD,
∵底面ABCD是菱形,,
∴△ABD是等边三角形,∵F为AD的中点,
∴BF⊥AD,
又PF,BF平面PBF,PF∩BF=F,
∴AD⊥平面PBF,∵PB平面PBF,
∴AD⊥PB.
(2)由(1)得BF⊥AD,又∵PD⊥BF,AD,PD平面PAD,
∴BF⊥平面PAD,又BF平面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD,
由(1)得PF⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PF⊥平面ABCD,
连接FC交DE于H,则△HEC与△HDF相似,又,∴CH=
CF,
∴在△PFC中,过H作GHPF交PC于G,则GH⊥平面ABCD,又GH
面GED,则面GED⊥平面ABCD,
此时CG=CP,
∴四面体的体积
.
所以存在G满足CG=CP, 使平面
平面
,且
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了比较注射,
两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做实验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物
,另一组注射药物
.下表1和表2分别是注射药物
和药物
后的实验结果.(疱疹面积单位:
)
表1:注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积 | ||||
频数 | 30 | 40 | 20 | 10 |
表2:注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积 | |||||
频数 | 10 | 25 | 20 | 30 | 15 |
(1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;
(2)完成下面列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物
后的疱疹面积与注射药物
后的疱疹面积有差异”.
疱疹面积小于 | 疱疹面积不小于 | 合计 | |
注射药物 | |||
注射药物 | |||
合计 |
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.01 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于集合,
,
,
,定义
.集合
中的元素个数记为
.规定:若集合
满足
,则称集合具
有性质
.
(1)已知集合,
,写出
,
的值;
(2)已知集合,其中
,证明:
有性质
;
(3)已知集合,
有性质
,且
求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线上的任意一点到两定点
、
距离之和为
,直线
交曲线
于
两点,
为坐标原点.
(1)求曲线的方程;
(2)若不过点
且不平行于坐标轴,记线段
的中点为
,求证:直线
的斜率与
的斜率的乘积为定值;
(3)若直线过点
,求
面积的最大值,以及取最大值时直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知O是平面直角坐标系的原点,双曲线.
(1)过双曲线的右焦点
作x轴的垂线,交
于A、B两点,求线段AB的长;
(2)设M为的右顶点,P为
右支上任意一点,已知点T的坐标为
,当
的最小值为
时,求t的取值范围;
(3)设直线与
的右支交于A,B两点,若双曲线右支上存在点C使得
,求实数m的值和点C的坐标.
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