Question

【题目】已知函数，．

Ⅰ当时，求函数的最小值；

Ⅱ若对任意，恒有成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1 ； （2） .

【解析】

（1）求出函数的导数，根据导数判断函数的单调区间，进而求出函数的最小值；

（2）要证，只需证明ex≥ln（x+m）+1成立即可，分情况讨论，采用分离参数法，构造新函数，利用导数求得符合条件的m的取值范围，进而问题得解.

（1）当时，，则．

令，得．

当时，；当时，．

∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

∴当时，函数取得最小值，其值为．

（2）由（1）得：恒成立．

①当恒成立时，即恒成立时，条件必然满足．

设，则，在区间上，，是减函数，在区间上，，是增函数，即最小值为．

于是当时，条件满足．

②当时，，，即，条件不满足．

综上所述，m的取值范围为．